การรู้จักคนิตศาสตร์

การแปรผันตรง

การแปรผันตรง

พิจารณาตารางแสดงความสันพันธ์ต่อไปนี้

ครอบครัวๆหนึ่งมีลูกชาย $2$ คน ในการไปโรงเรียนแต่ละวันทั้งสองคนจะได้รับเงินไปโรงเรียนจากแม่ไม่เท่ากัน ดังตารางต่อไปนี้

จำนวนเงินที่น้องชายได้รับ(x)	จำนวนเงินที่พี่ชายได้รับ(y)
$5$	$10$
$6$	$12$
$7$	$14$
$8$	$16$
$9$	$18$
$10$	$20$
$11$	$22$
$12$	$24$

ให้ $x$ แทนจำนวนเงินที่น้องชายได้รับ

$y$ แทนจำนวนเงินที่พี่ชายได้รับ

จะเห็นว่า $x$ และ $y$ มีความสัมพันธ์กันตามสมการคือ $y=2x$

ความสัมพันธ์ของปริมาณ $x$ และ ปริมาณ $y$ ในตารางเป็นตัวอย่างของการแปรผันตรงครับ นั่นคือ จากตารางจะเรียกว่า $y$ แปรผันตรงกับ $x$

ตัวอย่างที่ผมยกให้ดูข้างต้นเป็นตัวอย่างของปริมาณสองปริมาณที่แปรผันตรงกัน ครับ ซึ่งในชีวิตประจำวันถ้าสังเกตดีๆน่ะครับ ปริมาณต่างๆ จะมีความแปรผันตรงกันครับ ลองสังเกตดูดีๆครับ ต่อไป ไปดูนิยามของ การแปรผันตรงกันครับ

นิยาม

ให้ $y$ และ $x$ เป็นปริมาณใดๆ

$y$ แปรผันตรงกับ $x$ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน $y$ กับ $x$ ให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์ของสมการ $y=kx$ เมื่อ $k$ คือ ค่าคงตัวใดๆ และ $k\neq 0$

เรียก $y=kx$ ว่าสมการแสดงการแปรผัน

เรียก $k$ ว่า ค่าคงตัวของการแปรผัน

$y$ แปรผันตรงกับ $x$ เขียนแทนด้วย $y\alpha x$

เรามาดูตัวอย่างเกี่ยวกับ การแปรผันตรงน่ะครับ ย้ำนะครับ นิยามของการแปรผันตรงสำคัญมากน่ะครับ

ย้ำอีกครั้งแล้วกัน $y$ แปรผันตรงกับ $x$ ก็ต่อเมื่อ $y=kx$ น่ะครับ นิยามนี้พูดง่ายๆก็คือ

ถ้า เรารู้ว่าหรือถ้าโจทย์บอกว่า $y$ แปรผันตรงกับ $x$ เราสาสามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ $x$ กับ $y$ ได้เลยคือ $y=kx$ เมือ $k$ คือค่าคงตัวใดๆ ค่าคงตัวคือจำนวนตัวเลขน่ะครับ คือ อาจจะเป็นจำนวนเต็มก็ได้ เศษส่วนก็ได้ ทศนิยมก็ได้ครับ

ถ้าเรารู้ว่าหรือถ้าโจทย์บอกว่า $u$ แปรผันตรงกับ $v$ เราสามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ $u$ กับ $v$ ได้เลยคือ $u=kv$ เมื่อ $k$ คือค่าคงตัวใดๆ

ตอบคำถามต่อไปนี้

1.จากสิ่งที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงเขียนสมการแสดงการแปรผัน

1) $y\alpha x$ (อ่านว่า y แปรผันตรงกับ x) และ $4$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน(k=4 นั่นเอง)

ตอบ $y\alpha x$ (อ่านว่า y แปรผันตรงกับ x) นั่นคือเราจะได้ว่า $y=kx$ และ $k=4$ แทนค่า $k$ ลงไปครับจะได้

$y=4x$ ง่ายมากข้อนี้

2) $u \alpha v$ และ $\frac{1}{3}$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ $u \alpha v$ จะได้ว่า $u=kv$ และ $k=\frac{1}{3}$ จะได้ว่า

$u=\frac{1}{3}v$

3) $s \alpha t$ และ $0.7$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ $s=0.7t$

4) $s \alpha t^{3}$ และ $2$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ $s=2t^{3}$

5) $t\alpha \sqrt{l^{2}}$ และ $\frac{1}{3}$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ $t=\frac{1}{3}\sqrt{l^{2}}$

6) $H\alpha I^{2}$ และ $-3$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ $H=-3I^{2}$

2.จากสมการแสดงการแปรผันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงบอกความเกี่ยวข้องระหว่างตัวแปรและค่าคงตัวของการแปรผัน

1) $x=\frac{2}{3}y$

ตอบ จากโจทย์จะได้ว่า $x$ แปรผันตรงกับ $y$ และมี $\frac{2}{3}$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

2) $F=x$

ตอบ จะได้ว่า $F$ แปรผันตรงกับ $x$ และมี $1$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

3) $u=-0.5v$

ตอบ จะได้ว่า $u$ แปรผันตรงกับ $v$ และมี $-0.5$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

4) $s=vt$ โดยที่ $t$ เป็นค่าคงตัว และ $t\neq 0$

ตอบ จะได้ว่า $s$ แปรผันตรงกับ $v$ และมี $t$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

5) $A=\pi r^{2}$ เมื่อ $A$ แทนพื้นที่วงกลม และ $r$ แทนรัศมีวงกลม

ตอบ จะได้ว่า $A$ แปรผันตรงกับ $r^{2}$ และมี $\pi$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

6) $A=s^{2}$ เมื่อ $A$ แทนพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ $s$ แทนความยาวของด้าน

ตอบ จะได้ว่า $A$ แปรผันตรงกับ $s^{2}$ และมี $1$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

7) $V=\frac{4}{3} \pi r^{3}$ เมื่อ $V$ แทนปริมาตรของทรงกลม และ $r$ แทนรัศมีของทรงกลม

ตอบ $V$ แปรผันตรงกับกับ $r^{3}$ และมี $\frac{4}{3}\pi$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

แบบฝึกหัด 3.1

1.จากสิ่งที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงเขียนสมการแสดงการแปรผันโดยใช้สัญลักษณ์ที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ

1)ระยะทางที่รถยนต์คันหนึ่งแล่นได้ $s$ (กิโลเมตร) เมื่อใช้อัตราเร็วคงที่ แปรผันตรงกับเวลาในการเดินทาง $t$ (ชั่วโมง)และค่าคงตัวของการแปรผันคือ $60$

ตอบ จากโจทย์ได้ว่า $s\alpha t$ และมี $60$ คือค่าคงตัวของการแปรผัน ดังนั้นจึงได้ว่า

$s=60t$

3)ดอกเบี้ยจากเงินกู้ $I$ (บาท) แปรผันตรงกับจำนวนเงินที่ให้กู้ $P$ (บาท)และค่าคงตัวของการแปรผันคือ $0.5$

ตอบ จากโจทย์ได้ว่า $I\alpha P$ และมี $0.5$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ดังนั้นจึงได้ว่า $I=0.5P$

5) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส $A$ (ตารางหน่วย ) แปรผันตรงกับกำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุม $d$ (หน่วย) และค่าคงตัวของการแปรผันคือ $\fac{1}{2}$

ตอบ $A=\frac{1}{2} d^{2}$

2. สมการต่อไปนี้แสดงการแปรผันตรง จงบอกว่าปริมาณใดแปรผันตรงกับปริมาณใดพร้อมทั้งบอกค่าคงตัวของการแปรผันนั้น

2) $e=0.05m$

ตอบ ง่ายๆข้อนี้ ง่ายมากเลย ได้ว่า $e$ แปรผันตรงกับ $m$ และมี $0.05$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

4) $P=\frac{3q}{2}$

ตอบ ได้ว่า $P$ แปรผันตรงกับ $q$ และมี $\frac{3}{2}$ เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

3.ถ้า $y$ แปรผันตรงกับ $x$ และ $y=6$ เมื่อ $x=3$

1) จงหาค่าคงตัวของการแปรผัน(หาค่า k นั่นเอง)

ตอบ จากโจทย์ $y$ แปรผันตรงกับ $x$ จึงได้ว่า $y=kx$ โจทย์กำหนดว่า $y=6$ เมื่อ $x=3$ แทนค่า $x$ และ $y$ ลงสมการแปรผันครับ จะได้ว่า

จาก $y=kx$

จะได้

$6=3k$ แก้สมการเพื่อหาค่า $k$

$k=\frac{6}{3}=2$

ดังนั้น $k=2$ ง่ายมาก

3) ถ้า $x$ เป็น $3$ เท่าของปริมาณเดิม $y$ จะเป็นกี่เท่าของปริมาณเดิม

ตอบ ปริมาณเดิมของ $x$ คือ $3$

$3$ เท่าของปริมาณคือ $3\times 3 =9$

แทน $x$ ด้วย $9$ และแทน $k$ ด้วย $2$ สมการ $y=kx$ จะได้

$y=2(9)$

$y=18$

จาก $y$ เดิมคือ $6$ และ $y$ ใหม่คือ $18$

ดังนั้น $y$ ใหม่เป็นกี่เท่าของ $y$ เดิมก็คือ เอา y ใหม่ หาร y เดิม

จะได้ $\frac{18}{6}=3$

นั่นคือ $y$ เป็น $3$ เท่าของปริมาณเดิม

4. ถ้า $P$ แปรผันตรงกับ $Q^{2}$ และ $P=9$ เมื่อ $Q=3$ จงหาค่า $P$ เมื่อ $Q=\frac{5}{2}$

ตอบ $P$ แปรผันตรงกับ $Q^{2}$ นั่นหมายความว่า $P=kQ^{2}$

จากโจทย์บอกว่า $P=9$ เมื่อ $Q=3$ จะได้

$9=k(3^{2})$ แก้สมการหาค่า $k$

$k=\frac{9}{9}$

$k=1$

โจทย์ให้หา ค่า $P$ เมื่อ $Q=\frac{5}{2}$

นั่นคือแทนค่า $Q=\frac{5}{2}$ และ $k=1$ ในสมการ $P=kQ^{2}$

จะได้

$P=(1)\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$

$P=\frac{5^{2}}{2^{2}}$

$P=\frac{25}{4}$

วันพฤหัสบดีที่ 3 กันยายน พ.ศ. 2558

5 ความคิดเห็น:

คลังบทความของบล็อก